这个暑期学校包括:
- 三个讲座课程(作者:Kerstin Jordaan, Nalini Joshi和Walter Van Assche)，并辅以每日辅导课程。
- 三场客座讲座，作者:Andy Hone, Andrei Martinez-Finkelshtein和Adri Olde Daalhuis。
课程1:
”正交多项式的性质”
通过Kerstin乔达安(开云体育主頁(欢迎您)南非大学，南非)
摘要．在这些讲座中，我们将介绍正交多项式的理论。我们讨论正交多项式的基本概念和已知的性质在应用的上下文中。讲座的目的是通过可理解的例子来展示，有趣的研究问题产生于提出关于经典正交多项式及其扩展或推广所满足的特征性质的问题。课程内容包括三项递归关系及递归系数、谱定理、Hankel行列式、Jacobi矩阵、Rodrigues ' '型公式、超几何函数Padé近似值、超几何多项式的Askey格式、正交多项式的零点性质、Markov单调性定理、拟正交多项式、Pearson方程及半经典正交多项式。
课堂笔记:乔丹作业1(教程1)；Jordaan幻灯片第一讲；Jordaan幻灯片第二讲；Jordaan幻灯片，第三讲；Jordaan幻灯片第四讲；Jordaan幻灯片，第5讲
课程2”离散Painleve方程
通过Nalini Joshi(开云体育主頁(欢迎您)悉尼大学，澳大利亚)
摘要．在这些讲座中，将介绍离散Painlevé方程，这是著名的Painlevé方程的离散类似物。Painlevé方程的解在许多应用中作为普遍的非线性数学模型出现。对其离散版本的研究处于该领域的前沿，并在过去20年里创造了非常丰富的新思想和方法。现在很清楚，这些离散版本将是有用和适用的，但它们的性质并不为大多数数学家和数学科学家所熟知。本课程将介绍非线性离散方程，概述离散Painlevé方程的性质，用奇点和几何描述相空间的工具箱，以及如何挖掘这些以提供解的渐近行为。讲座将为学生提供培训和信息，他们可能会遇到非线性离散方程，特别是离散painleve方程，作为他们研究过程中的数学或物理模型。
课堂笔记:Joshi_opsfa_tutorials；Joshi_Lecture0；Joshi讲座1到4 OPSFA
课程3:
”多重正交多项式”
通过沃尔特·范·阿什(比利时鲁汶大学)
摘要多重正交多项式是一个变量的多项式，满足关于r > 1个测度的正交条件。它们在19世纪作为Hermite-Pad´e近似值的分母出现，因此它们也被称为Hermite-Padé多项式。文献中使用的其他名称是多边形多项式和d-正交多项式，它们基本上是靠近对角线(所谓的阶梯线)的II型多重正交多项式，d对应于测量的数量(我们用r表示)。马勒在20世纪对多元正交多项式进行了研究，得到了许多性质，特别是存在性和正态性(完美系统)。分析性质，特别是零的渐近行为，是在20世纪末得到的。在21世纪，多个正交多项式开始出现在各种随机矩阵模型、不相交随机路径和其他行列式过程中。特别是一个随机矩阵的平均特征多项式通常是一个多重正交多项式，因此一个随机矩阵的特征值被期望表现为一个多重正交多项式的零。多重正交多项式对于描述某些离散可积过程也很有用。在这些讲座中，将介绍和讨论最重要的多元正交多项式族，以及它们的已知性质和应用。
课堂笔记:范·阿什，第一讲；范·阿什，第二讲；范·阿什，第三讲；范·阿什，第四讲；范·阿什，第五讲
——客座讲座——
安迪·Hone客座演讲
标题:连分式和非线性递归
摘要三项线性递归是连分式理论的核心部分，用于描述收敛性，也是正交多项式的一个特征。本讲座将讨论一些与连分式相关的非线性递归的例子。在实数的设置中，给出了一些具有显式连分式展开的超越数的新例子。函数场与代数曲线相关的情况也将被提及，指出与某些离散可积系统，汉克尔行列式和正交多项式的联系。
Andrei Martínez Finkelshtein客座讲座
标题:多重正交多项式的矢量均衡与零渐近性
摘要自20世纪末以来，已知的分析性质，特别是零的渐近行为，满足正交条件的多项式族关于几个测量(多个正交多项式或MOPS)在向量值测量方面有一个静电描述。在实线上，这些度量通常提供相关能量泛函的全局最小值，但当我们处理非厄米正交时，必须考虑更一般的平衡概念。讲座的第一部分包含了对这些概念的一般介绍，而在第二部分中，我们讨论了关于三次权的多个正交多项式的情况，其中积分在平面上沿非同伦路径进行。对于它们的渐近描述，我们需要分析一个能量泛函的鞍点，其中相互作用包括吸引力和排斥力。所得到的测度可以用三次代数方程(谱曲线)来描述，其解是其分量的柯西变换的适当组合。特别地，这些度量支持有限数量的解析弧，这些解析弧是在三层黎曼曲面上全局定义的二次微分轨迹。对这种微分的所谓临界图的完整描述(以及作为问题参数的函数的动态)是MOPS渐近分析的关键成分。
这部分是基于与Guilherme L. F. Silva(密歇根大学，安娜堡)的联合工作。
Adri Olde Daalhuis客座演讲
标题:指数渐近与复苏
摘要:在过去的30年里，指数渐近是一个非常活跃的研究领域。它始于Berry, Ecalle和Kruskal的基础工作。小指数通常是渐近级数发散的原因。重新出现可以使发散的尾部被解码以产生这些指数。包括这些小的指数会在几个层次上导致指数改进的渐近:超渐近。通过复苏，我们现在能够计算所谓的连接系数，或斯托克斯乘数。我将演示常微分方程和偏微分方程的指数渐近的最新进展。
这些新技术也为我们提供了渐近展开式中余数的更好表示，这使得最近许多特殊函数的渐近展开式的误差边界变得更加清晰。
通过误差函数平滑Stokes现象是由Berry在1989年提出的。我将讨论高阶Stokes现象及其通过误差函数组合的平滑。